Таким образом, CAN получается из DBN просто поворотом последнего вокруг вершины N на угол BNA (=ЕАС, т. Удостоверимся прежде всего в том, что теорема не верна. Для этого достаточно привести «противоречащий пример», т. У полученных треугольников LNP и MNP (соответствие устанавливается порядком перечисления вершин) сторона' NP — общая, кроме того, LN = ММ. Однако даже не зная, верна ли теорема или нет, можно было обнаружить пробел в доказательстве, заключающийся в том (возвращаемся к обозначениям черт. В первом из этих двух случаев (лежат на одной прямой две равные стороны — АС и АС2 на черт. При такрм допущения там, как и здесь, доказательство благополучно завершается, причём также обнаруживается, что равные- треугольники в этом случае должны быть прямоугольными. Иная картина получается, когда лежат на одной прямой те стороны (ВС и ВС2, черт. Конечно, получится равнобедренный треугольник АСС2, но сделать отсюда какие-нибудь выводы относительно сторон СВ и СВ невозможно. Более того, читатель сразу вспомнит Черт. Предыдущие рассуждения подсказывают, как можно было бы «исправить» нашу теорему, т. Приведём два примера такого «исправления». Действительно, теперь случай, изображённый на черт. Эта теорема приводится иногда в учебниках геометрии под названием «четвёртого признака равенства треугольников». Следующее обстоятельство кажется на первый взгляд странным: случай равенства треугольников может быть сделан в известном смысле «сколь угодно близким» к случаю их неравенства. Например, если сравнивать черт. Но стоит точке В упасть в точности на прямую СС% (черт. Сейчас будут приведены некоторые соображения, имеющие целью разъяснить это явление. Иногда бывает удобно рассматривать три точки Р, Q, R, лежащие на одной прямой, как вершины «выро-. Смысл этой терминологии ясен: пока точки лежат «почти» на одной прямой, они всё же определяют треугольник с двумя «весьма малыми»" углами и третьим «близким» к развёрнутому Bd). При непрерывной деформации фигуры эти три точки могут оказаться в точности на одной прямой, и для' такого случая желательно сохранить прежние названия. При этом некоторые теоремы, оказываются одинаково справедливыми для «настоящих» и для «выродившихся» треугольников; такова, например, теорема: сумма углов треугольника равна 2d. Зато другие теоремы при переходе к выродившимся треугольникам теряют силу. Сюда, в частности, относится теорема: треугольник с двумя равными углами — равнобедренный. Этот пример имеет прямое отношение к интересующему нас вопросу. Пока на черт. Но если, как на черт. Утверждение теоремы ошибочно, так как легко построить прямоугольник, вписанный в квадрат и имеющий неравные стороны, — достаточно взять стороны прямоугольника параллельными диагоналям квадрата (но при этом не делящими сторон квадрата пополам). Независимо от только что изложенного построения можно было заметить следующий логический дефект в доказательстве на стр. Никакими доводами это расположение точек или углов не было обосновано и не могло быть: ведь с тем же условием теоремы согласуется черт. Подводя итог, мы можем в нескольких вариантах формулировать исправленную теорему, например: 1) прямоугольник вписан в квадрат так, что одна из сторон первого не параллельна ни одной из диагоналей второго, то этот прямоугольник есть квадрат; или 2) прямоугольник с неравными сторонами вписан в квадрат, то стороны прямоугольника параллельны диагоналям квадрата. Ошибка — той же логической природы, что и в примере 2: «непонимание того, что доказано»; иначе говоря, подмена того, что требуется доказать, другим предложением, которое действительно обосновывается, но из которого доказываемое никак не вытекает. Вдумаемся ещё раз в ход рассуждений и облегчим себе работу обнаружения ошибки, заменяя черт. Но почему же не могут пересекаться разноимённые отрезки, скажем, 20-й отрезок перпендикуляра с 25-м отрезком наклонной? А ведь когда мы утверждаем, что перпендикуляр и наклонная нигде не пересекаются, то обязаны показать, что ни один Черт. И мы не можем удовлетвориться вместо этого доказательством того, что ни один из отрезков перпендикуляра не пересекается с одноимённым отрезком наклонной. Если обратимся к черт. Этот софизм замечателен контрастом *) Зная угол А, можно было бы средствами тригонометрии найтн номера пересекающихся отрезков вычислением. Замечание. Как уже было сказано (см. Последний рассматривает две произвольно взятые прямые (фактически — два луча, не лежащих на одной прямой н имеющих разные начала) и доказывает с помощью описанного выше бесконечного процесса откладывания отрезков,' что эти прямые не пересекаются. Прокл правильно характеризует логическую ошибку, допущенную в этом софистическом рассуждении, когда говорит, что доказана только недостижимость точки пересечения с помощью данного построения, но это вовсе не означает, что такой точки не существует. Однако, судя по изложению Бонола, нельзя быть уверенным -в том, что Прокл глубже проник в геометрическую сущность допущенной ошибки; во всяком случае, близкий к нам по времени итальянский автор явно ошибается, когда говорит, что недостижимость точки пересечения здесь имеет тот же характер, что и в знаменитом софизме «Ахнллес и черепаха». Этим сопоставлением Бонола, конечно, хочет сказать следующее: точка пересечения (назовём её К) лучей AQ и ВР именно потому недостижима в данном построении, что при неограниченном возрастании п точки Ап и Вп стремятся к точке К, как к своему пределу, никогда не достигая этого предела. В нашем варианте такое допущение невозможно, так как при наличии равенства ААп— ВВп, справедливого при любом п, отсюда вытекало бы, что АК= ВК, т. Но эта невозможность сохраняется н в построении Прокла-Бонола, за исключением того частного случая, когда треугольник АКВ оказывается равнобедренным. Таким образом, и здесь происходит, вообще говоря, пересечение разноимённых отрезков, а не стремление концов одноимённых отрезков к общему пределу.