Доказательство. Рассмотрим некоторую траекторию игрока Е на плоскости до момента встречи с Р. Теорема доказана. Пусть в момент времени t = Q игроки Р и Е 3 Л. Преследование в полуплоскости с одним преследователем В этом параграфе мы рассмотрим игру ГA, 1; L), где L — полуплоскость с границей I и р а 0. На плоскости введем систему координат хОу таким образом, чтобы (рпс. Предположим, что при таком движении существует момент времени t = t\, при котором имеет место равенство (рис. Доказательство. Легко убедиться, что парабола E6) пересекает прямую I в точках — Мй и Мо. Лемма доказана. Теперь выясним геометрпческпп смысл кривой So. Доказательство. Лемма доказана. Тогда имеет место неравенство (ср. Доказать лемму предоставляем читателю. Оптимальной для игрока У р" — сг Р является Щ-стратегия, а оптимальным для игрока Е — движение по полупрямой Доказательство. Таким образом, в момент времени t = t выполнено равенство (см. Используя это обстоятельство, мы и в этом случае можем получить оценку G6). Теорема доказана. Доказательство. Покажем, что в этом случае встреча Р с Е произойдет не позже, чем за время 0. Очевидно, что точка М* является точкой Аполлония в L. Теорема доказана. Начиная с момента времени t~t использовать П-стратегию. Преследование на плоскости с несколькими преследователями Рассмотрим в этом параграфе игру Т(т, 1). Преследование происходит на всей плоскости, и наряд Р состоит из т преследователей Pi, Рг, ,. Мы будем говорить, что решение игры Г (Pi. Доказательство. Введем двух псевдоигроков Ег и Е2. Рассмотрим две игры преследования в полуплоскости (см. Пусть теперь игрок Е перемещается по некоторой ломан ой траектории, а наряд Р использует П-стратегию. Теорема доказана. Доказательство. При t 0 движение игроков Ех п Ег определяется следующим образом. Далее доказательство теоремы 6 можег быть продолжено аналогично доказательству теоремы 5 с использованием теоремы 4. Рассмотрим случай pip2. В основе доказательства теоремы 7 лежит следующий геометрический факт. Пусть К' — наименьший выпуклый многоугольник, содержащий точки Аи Аг, . Это и доказывает теорему 7. ГЛАВА III ИГРА С «ЛИНИЕЙ ЖИЗНИ» § 7. Преследование с одним преследователем В этом параграфе мы найдем решение игры G(l, I; S) с iлинией жизни» в случае, когда S — выпуклое множе- • ство на плоскости с границей I. Разберем подробно слу- | чай, когда множество S представляет собой полупло- i скость. Цель убегающего Е — достижение линии жизни /, избегая при этом встречи с Р до момента ее достижения. По условиям игры игрок Р в процессе преследования не может i покинуть множества S, \ 1. Случай полуплоскости. Выберем систему координат таким образом, чтобы ось абсцисс совпадала , с границей I полуплоскости, а множество 5 представлялось в виде (рис. Доказательство. Траектория ЕA) является ломаной с конечным числом вершин. При этом движение игрока Р прямолинейно, т. Следовательно, в этом случае у игрока Р не существует способа преследования, который бы мог обеспечить встречу с ? до момента достижения им «линии жизни» точки М е I — границы множества S. Теорема доказана. Следовательно, Е не сможет достичь I до его встречи с Р (рис. Случай круга. Пусть рб0 и S — круг. Доказательство проводится вполне аналогично доказательству теоремы 8. Остается лишь показать, что в этом случае траектория P(t) игрока Р не покидает множества 5. Это легко установить, используя выпуклость круга S и дословно повторяя соответствующие рассуждения, приведенные при доказательстве теоремы 8. Доказательство. Докажите, что в этом случае Р будет перемещаться по ломаной траектории, исходящей из начального состояния Р@) с тем же числом вершпн. Выведите необходимые и достаточные условия невыживания игрока Е в 5 в случае, когда 5 — произвольное (не обязательно выпуклое) множество на плоскости. Построение зон убегания п зон встречи Продолжим исследование игры G(i, 1; 5) с «линией жизни» в выпуклом множестве S на плоскости. Зону убегания для фиксированных S и w мы будем обозначать УЗ E; w). Зону встречи для фиксированных S п w мы будем обозначать через В3E; w). Это означает, что ес. Это оз- i = l начнет, что игрок Е не может достичь границы ни одного из множеств Si до его встречи с преследователел! в Su п т. Теорема доказана. Доказательство. Определим вид зоны встречи ВЗ E; w) для случая полуплоскости. В то же время из любой другой начальной точки Е@) (при фиксированном начальном положении Р@)) игрок Е не может достичь границы I области S до его встречи с Р. В то же время из любого другого начального положения Р@) (при фиксированном начальном положении Е @)) Р может гарантировать встречу с Е до его достижения границы I множества S. Цель игрока Е противоположна. Здесь мы будем предполагать, что участники наряда Р могут в процессе преследования покидать множество S. Доказательство. Пусть E(t)— некоторая ломаная траектория Е из начального положения Е@) и наряд Р использует П-стратегию. Аналогичное включение имеет место и при tP tP^. Точку М назовем точкой встречи. Рассмотрим прямолинейное движение Е из начального положения Е@) в точку /if. При таком движении встреча Е с Р\ происходит в точке М ва границе I (если Р\ использует П-стратегпю) и игрок Р) не может осуществить встречу с Е до достижения игроком Е точки М (лемма 5). Покажем, что игрок Рг также не может осуществить встречу с Е до достижения им точки Л/. В первом случае М принадлежит окружности Аполлония 5F*2', Ih) и согласно лемме 5 встреча с Е до достижения точки М невозможна. Теорема доказана. Рассмотрим случай, когда S полуплоскость. Пусть pi рг . Доказательство. Тогда в игре G(m, I; S) возможно выживание в том и только в том случае, когда множество К имеет непустое пересечение с границей I множества S. Черноусько получил следующий результат. ГЛАВА IV ИГРЫ ПРЕСЛЕДОВАНИЯ, ПОЛНОЕ РЕШЕНИЕ КОТОРЫХ НЕИЗВЕСТНО § 10. Преследование в угле*) Предположим, что преследование происходит в угле а с вершиной в точке О и наряд Р состоит из одного преследователя Р.