Таким образом, равные векторы обязательно параллельны или лежат на одной прямой (короче говорят: «коллинеарны»). Для дальнейшего важно рассматривать точку как отрезок, начало и конец которого совпадают. Такой «вырожденный» отрезок тоже считается вектором, но ему не приписывается никакого определенного направления**). Он называется нулевым вектором и обозначается 0. Суммой векторов а и Ь называется вектор с = а + Ь, идущий из начала вектора а в конец вектора Ъ (рис. Сложение векторов, как и сложение чисел, подчиняется переместительному и сочетательному законам. Его справедливость усматривается из рис. Благодаря переместительному и сочетательному законам можно при сложении векторов так же, как и при сложении чисел, не обращать внимания ни на порядок слагаемых, ни на их группировку. Сложение нескольких векторов поясняется на рис. Очевидно, сумма нескольких векторов равна нулю тогда и только тогда, когда образованная ими ломаная замкнута, т. Тогда длина вектора Ь должна быть равна длине вектора а, а направление прямо противоположно направлению вектора а. Определенный таким образом вектор Ь называется противоположным вектору а и обозначается —а. Разностью а — Ь векторов а и Ь называется такой вектор с, что Ь + с = а. Способ построения разности указан на рис. Вместе с тем вычитание можно свести к сложению следующим образом. Это дает еще один способ построения разности, указанный на рис. Между прочим, поскольку согласно определению разности равенства а — 6 = с, а = Ъ + с означают одно и то же, то вектор можно переносить из одной части равенства в другую с противоположным знаком. Нам понадобится одно важное неравенство, которое называется неравенством треугольника. Обратимся к рис. Здесь знак равенства достигается тогда и только тогда, когда векторы одинаково направлены. Произведением Ха вектора а на вещественное число X называется вектор с, определяемый следующими условиями. Можно ввести и деление вектора на число. Частным от деления вектора а на число % Ф 0 называется произведение вектора а на число, обратное к К: х=4-в- Итак, мы видим, что рассмотренные действия векторной алгебры подчиняются тем же основным законам, что и соответствующие действия над числами. Поэтому в векторной алгебре справедливы все логические следствия этих законов, что позволяет оперировать с векторами так же, как с числами. Начиная с этого места, мы будем считать, что все векторы лежат в одной плоскости*), т. Пусть а и Ъ — два неколлинеарных вектора н с—какой-нибудь третий вектор. Они пересекутся с прямыми, на которых лежат а и Ъ, в точках А я В соответственно. Но так как векторы ОА и а коллинеарны, то найдется такое число А,, что Аналогично найдется такое число (д. Представление вектора с в виде A5) называется разложением этого вектора по векторам а и Ъ. Любой вектор с можно разложить по двум неколлинеарным векторам а и Ъ. Коэффициенты Лиц при этом определены единственным образом. Очевидно, абсолютная величина отношения т: п равна отношению длин АС:СВ. Отношение т:п положительно, если точка С лежит внутри отрезка АВ, и отрицательно, если она лежит вне отрезка (рис. Пусть точка С делит отрезок АВ в отношении m : п и пусть О — произвольная точка плоскости (рис. Доказательство. Как известно, осью называется прямая, снабженная «положительным» направлением. Пусть / — некоторая ось и АВ — некоторый вектор (рис. Рассмотрим число, равное длине отрезка А{Ви взятой со знаком плюс, если направление вектора А\В^ совпадает с направлением оси /, и взятой со знаком минус'в противоположном случае. Отметим еще два свойства проекций (рис. Эти свойства принято выражать следующими словами: «проектирование вектора на ось является линей' С Рис. Между прочим, умножение вектора на число X тоже есть линейная операция (см. Еще один важный пример линейной операции дает операция поворота вектора на заданный угол а (положительный, отрицательный или нулевой—безразлично). Эту операцию мы будем обозна* чать через Ua, а результат ее применения к вектору а — tz0 Рис. Таким образом, вектор Uaa получается из вектора а поворотом на угол а. Операция, не меняющая вектора, называется тождественной операцией. Результат последовательного выполнения двух операций называется произведением операций. При этом, вообще говоря, важен порядок, в котором выполняются операции. Если сначала выполняется операция Т, а затем one* рация 5, то произведение записывается в виде ST. Если ST = TS, то говорят, что операции S и Т перестановочны. Таким образом, любые два поворота перестановочны. Любой поворот перестановочен также с умножением на число (свойство 2 операции Ua). Свойства поворотов и других геометрических преобразований могут быть с успехом использованы для решения разнообразных задач (см. ЭЛЕМЕНТЫ КИНЕМАТИКИ п° 1. Возьмем на плоскости какую-нибудь точку О — полюс. Для произвольной точки М вектор г = ОМ (рис. Точка и ее радиус-вектор взаимно определяют друг друга. Если точка движется, описывая некоторую траекторию (рис. Слово «изменяется» нельзя понимать здесь слишком буквально. Важным частным случаем движения является покой. Если точка покоится, то ее радиус-вектор во все моменты времени будет одним и тем же. Как функция от времени он является постоянной, «константой». Это записывается так: г — const. Мы хотим теперь ввести важнейшее понятие скорости движения. Грубо говоря, скорость — это перемещение за единицу времени. При этом РйС 2д скорость должна описывать как абсолютную величину перемещения за единицу времени, так и направление этого перемещения, т. Если мы знаем, что за промежуток времени [to, tt] точка М испытала перемещение Аг, то чтобы получить перемещение за единицу времени, естественно разделить Дг на длительность промежутка времени. При этом получится вектор, который называется средней скоростью точки за данный промежуток времени: *ср = -^. Этот вектор направлен так же, как вектор перемещения Аг, но его абсолютная величина равна расстоянию MqM], деленному на At, т.