Хоти)лярнъге л ПО МАТЕМАТИКЕ Л. БЕРАН УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА 2 . ПОПУЛЯРНЫЕ ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИКЕ ВЫПУСК 55 Л. БЕРАН УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА Перевод с чешского В. САЛИЯ Под редакцией Л. Брошюра содержит популярное изложение важного для современной математики понятия частично упорядоченного множества. Рассмотрены понятия точной верхней и точной нижней граней, введены структуры (решетки), рассмотрены алгебраические свойства операций взятия точных граней, введены дистрибутивные структуры. Для учащихся старших классов средней школы и студентов младших курсов вузов. Издательство «Наука». ОГЛАВЛЕНИЕ ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА РУССКОГО ПЕРЕВОДА . ПРЕДИСЛОВИЕ ВВЕДЕНИЕ Глава 1. УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА Глава 2. ПРИМЕРЫ РЕШЕТОК Глава 4. ОСНОВНЫЕ КЛАССЫ РЕШЕТОК РЕШЕНИЯ И ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ ПРИЛОЖЕНИЕ ЛИТЕРАТУРА ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 5 . ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА РУССКОГО ПЕРЕВОДА Понятие частично упорядоченного множества является фундаментальным для современной теоретико- множественной математики и встречается во многих прикладных вопросах. В предлагаемой вниманию читателя книге содержится популярное изложение этого понятия, а также связанные с ним понятия точной верхней и точной нижней граней, введены решетки (структуры), рассмотрены алгебраические свойства операций взятия точных граней, введены модулярные и дистрибутивные решетки. Автор не излагает сколько-нибудь глубоких теорем. Однако предлагаемые им примеры, задачи и упражнения позволяют овладеть введенными понятиями. От читателя требуется владение основными понятиями теории множеств в объеме средней школы, с популярным изложением которых можно ознакомиться, например, по книгам [1] (гл. При подготовке русского издания были изъяты все ссылки на чешскую литературу. В русском переводе они содержатся в «Приложении», написанном редактором. ПРЕДИСЛОВИЕ Теория упорядоченных множеств, наиболее разработанная в рамках теории решеток, относится к числу современных математических дисциплин. Книжка, которую вы, дорогие читатели, сейчас открыли, познакомит вас с основными понятиями' и методами этого раздела математики. Решая собранные в ней задачи и упражнения, вы сможете усвоить важные конкретные примеры. При этом от вас не потребуется почти никаких навыков в численных расчетах. Но эта математика «без таблицы умножения» тоже имеет свои правила, свой круг проблем, свое очарование. Книжка позволит вам несколько иначе взглянуть и на некоторые понятия школьной программы. В ходе долгого исторического развития люди постоянно встречались с различными частными случаями упорядочения. Сначала это было упорядочение привычных вещей и повседневных явлений. Позднее — по мере того, как совершенствовались трудовые навыки и мастерство — обнаруживалось упорядочение отдельных этапов в той или иной деятельности, и оно как приобретенный опыт передавалось из поколения в поколение. Так уже с первых робких шагов, с самых первых изготовленных предметов люди обнаруживали все новые виды упорядочения окружающих вещей, своей деятельности. С некоторых из этих упорядочений мы свыклись настолько, что часто их просто не осознаем, как, например, грамматический порядок слов в предложении. Мы постоянно упорядочиваем предметы и явления по тому, насколько они нам нравятся. Так, если нам придется сравнивать голоса певчих птиц, то, конечно, результат будет определяться нашей собственной оценкой их пения. После некоторых размышлений мы согласимся, что имеем дело с упорядочениями и в следующем примере. Другой расположит лохматых псов в зависимости от того, как они ему нравятся, скажем, так: Лорд — Бондо — Пекинка — Бублина — Волк. Третий же, подумав, расставит их с меньшей определенностью: конечно, больше всех ему нравится Лорд, но вот Бондо, Пекинка и Бублнна кажутся ему одинаково милыми, диковатый же Волк не вызывает большой симпатии. И тогда получится такое расположение: Бондо Пеииниа Биб/и/ня Волн Еще пример. Малыши наблюдают за цветом проезжающих мимо машин. Каждый играющий стремится насчитать как можно больше машин «своего» цвета. Предположим, играют двое. Первому нужно, чтобы проехало как можно больше машин белого цвета (мы их будем обозначать буквой Б), но при этом он внимательно следит и за красными машинами (их мы обозначаем далее буквой К), которые приносят очки его противнику. Машины других цветов (в обозначении Д) игроки отмечают лишь краем глаза. Рассуждая далее, видим, что оба наблюдателя отметили одновременное появление белой и красной машин, а спустя некоторое время — белой и машины, которая не была ни красной, ни белой. Обратимся теперь к несколько иным ситуациям. Наверное, многие из вас в свободное время любят мастерить. Сначала перед вами просто набор различных материалов, а результат — красивая модель парусника, собранный своими руками транзисторный приемник, макет современного здания или велотрека и т. Вы хорошо знаете, что для того чтобы добиться успеха в этой своей работе, нужно действовать систематически, другими словами, нужно определенным образом упорядочить свою деятельность. Того же требует от вас и изучение иностранных языков. То же самое происходит и на более высоком уровне — при организации любой производственной деятельности. Здесь большую помощь оказывают человеку различные вычислительные машины— от карманных калькуляторов до огромных автоматических устройств, управляющих целыми предприятиями. Не все знают, что принцип действия этих машин опирается на так называемый булевский тип упорядочения. Но оказывается, что и в обычных житейских ситуациях вы встречаетесь с подобным способом упорядочения своих рассуждений. Например, ваши планы на сегодняшний день могут зависеть от того, пойдет или не пойдет Иржи в кино, а Ота поедет или не поедет к дяде. Если вы в своих рассуждениях будете рассматривать эти четыре случая, то это значит, что вы использовали, при оценке возможных ситуаций так называемую классическую булевскую логику. Однако при изучении закономерностей квантовой механики оказалось целесообразным обобщить этот тип 9 .